(16) (本题满分10分）
设函数y(x)满足方程y"+ 2y'+ ky = 0, 其中O
(17) (本题满分10分）
设函数f(x,y)满足叭x,y)=(2x+l)e
2x -r, 且f(0,y) = y + 1 , L1 是从点(O,O)到点(1, t)的光
滑曲线计算曲线积分I(t) = f af (X'y) dx + af (X'y)
L,
ax
句
dy, 并求I(t)的最小值
— 2
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(18) (本题满分10分）
(I)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x) +u(x)v'(x);
(II)设函数U1(X) , U2 (X) , … ，Un (X)可导，f(X) = U1 (X) u2 (X)…Un (X) , 写出f(x)的求导
公式
(19) (本题满分10分）
已知曲线L的方程为\z = J2 -x
2 - z
y'起点为A(O,丘，0),终点为B(O, -立，0),计算曲线积
z =x,
分I= f (y + z) dx + (z2 - x
2 + y) dy + x
2 y
2 dz.
L
(20) (本题满分11分）
设向掀组a1,a2 ,a3为R
3 的一个基，/11 = 2a1 + 2ka3, 仕=2a2, /13 =a1 + (k + 1)也·
(I)证明向扯组/11,/12 ,/33为R
3 的一个基；
(II)当k为何值时，存在非零向量§在基a1,a2 ,a3 与基/11, /12, /33 下的坐标相同，并求所有的f
— 3
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2014年全国硕士研究生招生考试试题
一、 选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
(1) 下列曲线中有渐近线的是（
(A) y = x + sin x.
(B) y = x2 + sin x.
1
(C)y = x + sin —.
X
1
(D) y = x2 + sin —.
X
(2) 设函数f(x)具有2阶导数，g(X) = /(0) (I -X) + /(1) X , 则在区间[0, 1]上（
）
(A)当f'(x);;:O时，f(X) ;:: g (X) .
(B)当f'(x);;:O时，f(x)àg(x).
(C)当f"(X) ;,::Q时，f(X) ;:: g (X) .
(D)当f"(X) ;,::Q时，f(x) 冬g(x).
(3) 设J(x,y)是连续函数，则［叫
0
- f (X , y) dx = (
)
(A) L dxL
无一1
/(x,y)dy+ l1dxf
卢
八x,y)dy
(B) L dxL
一无
f(X , y) dy + ll dx l 歹f(x,y) dy.
厂
f
os/Jsin/J
(C)
0 d0
0
/(rcos 0, rsin 0) dr + ff d0 L /(rcos 0, rsin 0) dr.
广厂/Jsin/J
(D)
d0
/(rcos 0, rsin 0) rdr + f 叫
1
/(rcos 0 , rsin 0) rdr.
0
0
(4) 若f
ir
(x -a1 cos x -b1 sin x)
2 dx = min { f
ir
(x -acos x -bsin x)
2 dx } , 则a 1cos x + b 1 sin x = (
)
a bER
(A)2sin x.
(B)2cos x.
(C)27rsin x.
(D)27rcos x.
0 a
b
O·
(5) 行列式
a O
O
b
0
C
d 0 I = c
>
C
O
O
d,
(A) (ad-bc)
2. (C)a2d2 -b2c2.
(D)b2c2 -a2d气
(6) 设归生，U'3 均为3维向量，则对任意常数k'l, 向量组a1+ k也立尸厄线性无关是向量组a1'
a2 ,a3 线性尤关的（
）
(A)必要非充分条件.
(B)充分非必要条件．
(C)充分必要条件
(D)既非充分也非必要条件
(7) 设随机事件A 与B相互独立，且P(B) =0.5,P(A-B) =0.3, 则P(B-A) = (
)
(A)0.1.
(B)O. 2.
(C)O. 3.
(D)O. 4.
(8) 设连续型随机变蜕X1 与X2相互独立且方差均存在，X1 与X2 概率密度分别为/1(x)与儿(X)'
随机变量yl的概率密度为/ (
Y1 y) =—
2
(A) E (Y1) > E (凡），D(Y1) > D (Y2) .
(C) E (Y1) = E (Y2) , D (Y1) < D (Y2) .
[/1 Cr) +/2 Cr) J, 随机变量Y2 =—（凡＋凡），则（
2
— 1
—
(B) E (Y1) = E (Y2) , D (Y1) = D (Y2) .
(D) E (Y1) = E (凡），D(Y1) > D (Y2) .
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二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
(9) 曲面z=x气1-sin y) + y
2 (1 -sin x)在点(1,0,1)处的切平面方程为
．
(10) 设J(x)是周期为4的可导奇函数，且J '(x) =2(x-1) ,xE[0,2], 则/(7) =
.
(11) 微分方程xy'+y (In x -In y) = 0满足条件y(l) =e
3的解为y=
.
(12) 设L是柱面x
2+ y
2 = 1与平面y+z =0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则
曲线积分fzdx +ydz =
(13) 设二次型J(x 1,X2,x3) =xi 一式+ 2ax 1 x3 + 4x2x3的负惯性指数为1'则a的取值范围是
．
2x
0
(14) 设总体X的概率密度为f(x ;/J) = i 芷
0,
其他，
，
其中0是未知参数，X 1,X2, …，xn 为来自
总体X的简单随机样本，若心：对是矿的无偏估计，则c=
.
i = 1
三、 解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
r [ t
2 (e + - 1) -t ] dt
求极限lim
x---+ + 00
x
2 ln (1 +)
.
(16) (本题满分10分）
设函数Y=f(x)由方程y
3+ xy
2 + x
2 y + 6 = 0确定，求f(x)的极值．
(17) (本题满分10分）
和
和
设函数八u)具有二阶连续导数，z=f(e
冗cosy)满足
+
2 = (4z + e
x cos y) e
2无．若f(O) = 0,
祁2
切
f '(O) =0, 求八u)的表达式
— 2
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(11) 设函数F(x,y) =『三皿钟，则空³
=
0
1 + t
ax
2
x=O
y=2
(12) 设L是柱面x2 + y2 = 1与平面z =x +y的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则
f
曲线积分xzdx +xdy +Ldz =
.
2
(13) 若二次曲面的方程x2 + 3y2 + z
2 + 2axy + 2xz + 2yz = 4经正交变换化为外+4zi = 4, 则
a=
(14) 设二维随机变掀(X,Y)服从正态分布N(µ,µ; 矿，6勹0)'则E(XY勹＝
三、 解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
求极限四[ln(l
x
+x)]
沪- l.
(16) (本题满分9分）
设函数Z= j(xy , yg (X)) , 其中函数J具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在X= I处取得
极值g(l) =l. 求
护z I
砬y 霄
(17) (本题满分10分）
求方程karctanx -x =0不同实根的个数，其中k为参数
— 2
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2
3
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1
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(8) 设/1(x)为标准正态分布的概率密度，儿(x)为[ -1,3]上均匀分布的概率密度，若
a/1 (X) , X²Q ,
J(x) =
(³ 儿(x),
x >O (a >0,b >0)
为概率密度，则a,b 应满足(
(A)2a +3b =4.
(B)3a+2b=4.
(C)a+b=l.
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
(9) 设r
= f,.
则归
＝
．
y =
ln(l + u2)du, dx
t=O
(10) 厂丘cos勾dx=
.
(D)a + b =2.
(11) 已知曲线L的方程为y=l-lxl (xE[-1,1]), 起点是(-1,0),终点为(1,0),则曲线积分
f xydx +x2dy =
.
(12) 设fl=j (x ,y ,z) I x
2 + y飞冬If'则0的形心的竖坐标z=
.
(13) 设a1= (1,2, -1,Q)
T 立=(1,1,0,2)飞l:'3= (2 , 1 , 1 , a)
T. 若由«1'生立3 生成的向量空间的
维数为2,则a=
.
(14) 设随机变量X的概率分布为PjX=kl
k !' k=0,1,2,···, 则E(X2)=
三、 解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
求微分方程y"-3y'+ 2y = 2xex 的通解
(16) (本题满分10分）
求函数f(x)= J元2
(x
2 - t) e 一i2dt 的单调区间与极值
1
— 2
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